Veranschaulichung zur

Unschärfe-Relation

Die berühmte Unschärfe-Relation soll hier veranschaulicht werden .

Dazu machen wir uns klar:

Nach de Broglie können wir jedem Teilchen mit dem Impuls p eine Welle so zuordnen, dass gilt .

Dazu gehört dann im einfachsten eindimensionalen Fall die Wellengleichung

oder, wenn wir jetzt statt Schwingungsdauer die Kreisfrequenz und statt der Wellenlänge den Wellenvektor k betrachten:

Nächste Vereinfachung: Wir betrachten einen festen Zeitpunkt (also eine Momentaufnahme der Welle). Dann fällt der Term mit t einfach weg. Wenn wir jetzt noch berücksichtigen, dass cos(-x) = cos(x), können wir auch das Minus-Zeichen weglassen. Wir interessieren uns nur noch für

Dieses k hängt natürlich auch mit dem Impuls des Teilchens zusammen:

Eine Unschärfe von p entspricht damit direkt einer Unschärfe von k – wenn ich p nur auf +/- 25% genau kenne, ist das genauso, als würde ich k (und damit die Wellenlänge) nur auf +/- 25% genau kennen.

So, jetzt aber endlich zur Welle:

Wenn ich k (und damit p) ganz genau kenne (Unschärfe 0%), habe ich eine reine Cosinus-Funktion. Die ist zwar ganz hübsch, hat aber keinen festen Ort auf der x-Achse, denn sie sieht überall gleich aus.

Jetzt vergrößern wir die Unschärfe von k. Das bedeutet, dass wir viele (idealerweise unendlich viele, aber 1000 ist auch schon nicht schlecht) Cosinus-Funktionen addieren, deren Werte für k (und damit deren Wellenlängen) um den vorgegebenen Wert herum schwanken.

Fange vorsichtig an, gehe dann zu immer größeren Unschärfen. Was beobachtest Du? Welchen Zusammenhang zwischen der Unschärfe für k und der Breite des Wellenpaketes kann man formulieren?

Je nach Breite der x-Achse erhältst Du einen Gesamtüberblick oder eine Detail-Ansicht des Bereichs in der Mitte. (Wenn Du die Achse sehr breit machst - über 1000  Wellenlängen - siehst Du, dass 1000 Cosinus-Funktionen doch noch nicht genug sind: Es entstehen weiter außen noch Maxima, die erst bei sehr sehr vielen Summanden verschwinden.)

Hier gibt es die Dateien als zip-Archiv zum Herunterladen und offline-Arbeiten

Wer das Ganze dreidimensional untersuchen möchte, findet hier ein Maple-Worksheet zum Herunterladen.